辅助角公式考研

辅助角公式考研

辅助角公式是高等数学中用于简化三角函数表达式的一种方法。在考研数学中,这个公式经常用于处理涉及正弦和余弦函数相加的问题。以下是辅助角公式的标准形式及其解释:

辅助角公式

对于形如 `Asinα + Bcosα` 的表达式,可以通过辅助角公式转换为单个正弦函数的形式:

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其中,`φ` 是辅助角,满足:

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其中,`φ` 是辅助角,满足:

解释

`Asinα + Bcosα` 可以看作是两个向量 `A` 和 `B` 在单位圆上的投影的线性组合。

`√(A² + B²)` 是这两个向量的模长之和,即原点到点 `(A, B)` 的距离。

`sin(α + φ)` 表示这两个向量合成后的向量与 x 轴的夹角。

应用

辅助角公式在解决最值问题时特别有用,因为它可以将复杂的三角函数表达式简化为一个正弦函数,便于分析和求解。

注意事项

当 `A` 和 `B` 同号时,`φ` 的取值范围是 `[0, π/2]` 或 `[3π/2, 2π]`。

当 `A` 和 `B` 异号时,`φ` 的取值范围是 `(-π/2, π/2)` 或 `(π/2, 3π/2)`。

例子

假设 `A = 3`,`B = 4`,则: